Soal Realistik Matematika Keuangan

Permasalahan 1: Asuransi pendidikan

Suatu perusahaan asuransi menawarkan asuransi pendidikan sebesar Rp.125.000.000 setiap tahun selama 4 tahun setelah Anda membayar keseluruhan premi sebesar Rp.100.000.000 setiap tahun selama 4 tahun. Di lain sisi, suatu bank menawarkan bunga deposito sebesar 4,75% pertahunnya. Menurutmu, manakah yang lebih menguntungkan?

….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 

Permasalahan 2: Pembelian mobil secara kredit

Pak Budi ingin membeli mobil secara kredit. Setelah ia membayar DP, cicilan manakah yang akan dipilih Pak Budi jika ia hanya sanggup membayar cicilan perbulan maksimal Rp.10.000.000?

….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Permasalahan 3: Kredit pembelian rumah

Anda ingin membeli rumah secara kredit. Dengan tempo yang ditawarkan dan tanpa uang muka, manakah yang lebih menguntungkan antara meminjam uang di bank untuk membeli rumah secara cash (kontan) atau melakukan simulasi kredit seperti yang ditawarkan pihak perumahan?

….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Akumulasi Nilai Masa Depan

Nilai rangkaian akumulasi masa depan (future value of a series) mengacu pada jumlah total yang diperoleh di masa depan dari serangkaian pembayaran atau investasi yang dilakukan pada interval tertentu, setelah memperhitungkan bunga atau pengembalian yang terakumulasi. Dalam kasus ini, akan dibahas nilai akumulasi tepat saat pembayaran terakhir dilakukan dan nilai akumuasi setelah pembayaran teakhir dilakukan.

• Nilai akumulasi rangkaian pembayaran sebesar 1 satuan uang di setiap 1 satuan waktu tepat saat pembayaran terakhir dilakukan yaitu

• Sedangkan nilai akumulasi rangkaian pembayaran setelah pembayaran terakhir dilakukan (sebelum periode berakhir) yaitu

Untuk membuktikan kedua rumus tersebut, dapat menggunakan rumus deret geometri (ditinggalkan sebagai latihan).

(Contoh) Setiap tanggal 1 Februari, dari tahun 2010 hingga tahun 2024, seorang investor rutin mendepositokan uang sebesar $500.000 di suatu bank. Jika bank tersebut memberikan bunga 9% per tahun, hitunglah jumlah uang investor tersebut, jika:

a. Diambil saat itu juga (tahun 2024)?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

b. Diambil 1 tahun kemudian?

….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 

c. Diambil 4 tahun kemudian?

….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Nilai Kini dari Anuitas

Pernahkah Anda mencicil suatu produk keuangan, seperti motor, mobil, rumah, dll? Acap kali kita sering berfikir mengapa total uang yang kita cicil lebih besar daripada harga aslinya? Hal tersebut adalah suatu kewajaran. Pada hakikatnya, uang di masa depan nilainya tidak sama dengan uang di masa kini. Hal tersebutlah yang mendasari perhitungan rangkaian cicilan di masa depan akan di bawa ke masa sekarang atau biasa disebut anuitas. 

Anuitas adalah serangkaian pembayaran atau penerimaan uang yang dilakukan secara berkala dalam jangka waktu tertentu. Pembayaran ini dapat dilakukan secara tahunan, semesteran, bulanan, atau sesuai dengan periode waktu yang telah ditentukan sebelumnya. Anuitas digunakan dalam berbagai konteks keuangan, seperti pinjaman, asuransi, investasi, dan pensiun.

Ciri-ciri anuitas:

1. Pembayaran berkala: Pembayaran dilakukan secara teratur pada interval waktu yang telah ditentukan (misalnya bulanan, tahunan).

2. Jumlah tetap: Besar pembayaran biasanya tetap selama periode anuitas, meskipun ada beberapa jenis anuitas yang bisa memiliki pembayaran bertumbuh atau berkurang.

3. Jangka waktu: Anuitas berlangsung selama jangka waktu yang tetap, bisa selama beberapa tahun atau bahkan hingga seumur hidup.

Dalam sesi ini, akan dibahas empat jenis anuitas, yaitu anuitas biasa, anuitas-due, anuitas ditunda, dan anuitas bervariasi.

Ø Immediate annuity-certain atau anuitas

Misal diberikan rangkaian pembayaran sebagai berikut:

 

dengan pembayaran ke-n dilakukan pada waktu t+n. Nilai dari rangkaian pembayaran sebesar 1 satuan uang di setiap 1 satuan waktu disebut immediate annuity-certain atau anuitas, sebesar 

Bukti: diketahui rangkaian pembayaran (beserta bunganya) sebesar (1+i) pada pembayaran pertama, sebesar (1+i)^2 pada pembayaran kedua, dan seterusnya hingga pembayaran terakhir sebesar (1+i)^n. Jika kita bawa nilai-nilai pembayaran tersebut ke masa kini (sekarang) maka nilainya adalah (1+i)^-1 pada pembayaran pertama, (1+I)^-2 pada pembayaran kedua, dan seterusnya hingga (1+i)^-n pada pembayaran terakhir. Sehingga nilai seluruh rangkaian tersebut adalah

Dengan menerapkan rumus deret geometri, maka

Ø Anuitas-due

Untuk nilai rangkaian pembayaran sebesar 1 satuan uang di setiap 1 satuan waktu yang saat itu juga pembayaran pertama dilakukan (pembayaran di awal) seperti berikut: 

disebut annuity-due atau anuitas-due, sebesar 

Bukti: nilai rangkaianya adalah

yang artinya suku pertamanya adalah 1 dan rasionya adalah (1+i)^-1, sehingga jelas dengan menerapkan rumus deret geometri maka akan terbukti (bukti ditinggalkan sebagai latihan).

Ø Anuitas ditunda

Anuitas ditunda atau deferred annuity adalah jenis anuitas di mana pembayaran berkala atau penerimaan uang tidak dimulai segera setelah kontrak dimulai, melainkan setelah periode tertentu di masa depan. Dalam anuitas ini, ada masa akumulasi di mana investor menyetor atau menginvestasikan uangnya, dan pembayaran baru akan dimulai pada titik waktu yang telah ditentukan, biasanya setelah masa akumulasi berakhir.

Misalkan m dan n adalah bilangan bulat tak-negatif. Nilai pada t=0 dari n pembayaran, masing-masing sebesar 1 satuan yang jatuh tempo pada (m+1), (m+2), ..., (m+n) seperti berikut: 

Rangkain pembayaran tersebut disebut anuitas ditunda. Misalkan v adalah nilai pembayaran masa depan yang dibawa ke masa kini, maka nilai dari anuitas ditunda tersebut adalah

(Contoh) Pinjaman sebesar Rp.20.000.000 harus dikembalikan dalam bentuk 20 pembayaran seragam tahunan. Jika tingkat suku bunga sebesar 10% per tahun, hitunglah besarnya pembayaran tahunan jika pembayaran dilakukan:

a. setiap akhir tahun?

….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

b. setiap awal tahun?

….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

c. dimulai di tahun ke 5?

….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Ø Anuitas bervariasi

Secara umum, nilai kini dari sebarang anuitas adalah sebesar

dengan pembayaran ke-i sebesar Xi dan dilakukan pada waktu ti. Untuk kasus khusus Xi=ti=i, anuitas tersebut disebut sebagai anuitas naik, yaitu

 

Bukti: buatlah dua persaamaan menggunakan nilai rangkaian pembayaran dan nilai rangkaian pembayaran yang dikalikan dengan (1+i). Kemudian kurangkan kedua persamaan tersebut (bukti dijadikan sebagai latihan).

(Contoh) Anuitas dibayarkan tahunan di akhir periode selama 20 tahun. Pembayaran pertama sebesar $8.000 dan berkurang sebesar $300 setiap tahun. Hitunglah nilai kini dari anuitas tersebut jika tingkat bunga sebesar 5% per tahun.

Bunga dan Nilai Kini

Bunga (interest) adalah pembayaran yang dilakukan oleh seseorang/ organisasi yang meminjam (borrower) atas penggunaan asset (capital) yang dimiliki oleh pihak yang memberikan pinjaman (lender). Bentuk dan mekanisme pembayaran bunga berdasarkan kesepakatan kedua pihak (antara borrower dan lender). Jika terdapat risiko gagal bayar, maka lender akan mengharapkan bunga yang lebih tinggi.

Ø Bunga Tunggal

Misalkan dana sebesar C diinvestasikan selama n tahun dengan suku bunga tunggal sebesar i per tahun. Maka saat investasi tersebut ditutup, dana akan terakumulasi menjadi

 

Jumlah tersebut terdiri atas pengembalian modal sebesar C dan pembayaran bunga sebesar Cin. Jika diinvestasikan selama n bulan dalam 1 tahun, dengan suku bunga tunggal sebesar i per tahun, maka dana akan terakumulasi menjadi

Ø Bunga Majemuk

Misalkan dana sebesar C diinvestasikan selama n tahun dengan suku bunga majemuk sebesar i per tahun. Maka setelah n tahun dana tersebut akan menjadi

Jumlah tersebut terdiri atas pengembalian modal sebesar C dan pembayaran bunga sebesar

Jika diinvestasikan selama n bulan dalam 1 tahun dengan suku bunga majemuk sebesar i per tahun, maka dana akan terakumulasi menjadi 

(Contoh) Pak Budi menabung uang $100 di Bank ABC yang memberikan bunga tunggal sebesar 10% per tahun. Sedangkan Bu Ani menabung uang $100 di Bank XYZ yang memberikan bunga majemuk sebesar 10% per tahun. Jika tidak ada penarikan selama 3 tahun, hitunglah tabungan Pak Budi dan Bu Ani pada bulan ke 1 sampai ke 4 dan tahun ke 1 sampai ke 3.

Menurutmu, bagaimana perbandingan tabungan Pak Budi dan Bu Ani?

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 

Apa yang dapat kamu simpulkan dari bunga tunggal dan bunga majemuk?

….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 

Ø Nilai Kini

Seperti pada konsep bunga tunggal sebelumnya, jika dana sejumlah C diinvestasikan selama n tahun dengan tingkat bunga sebesar i per tahun, maka saat investasi tersebut ditutup di masa depan, dananya akan menjadi 

Artinya, jika kita menginginkan atau mempunyai target memiliki dana sejumlah A di masa depan dengan konsep bunga tunggal, maka kita akan menyiapkan dana sejumlah C di masa kini/sekarang (present value) sebesar 

Sama halnya dengan bunga tunggal, apabila kita mempunyai target memiliki dana sejumlah A di masa depan dengan konsep bunga majemuk, maka kita akan menyiapkan dana sejumlah C di masa kini/sekarang sebesar 

(Contoh) Seorang investor ingin memiliki tabungan sebesar $20.000 pada 10 tahun yang akan datang. Jika Bank ABC menjanjikan bunga tunggal sebesar 5% per tahun, sedangkan Bank XYZ menjanjikan bunga majemuk sebesar 4,5% per tahun, bantulah investor tersebut untuk menentukan tabungan awalnya dan memilih Bank terbaik untuk menabung. Jelaskan juga pendapatmu.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Karakteristik Informasi Matematika Keuangan

Dalam mendesain soal matematika keuangan menggunakan gambar atau brosur, diperlukan beberapa karakteristik informasi yang sesuai. Terdapat enam karakteristik infromasi pada matematika keuangan, yaitu relevance, representational faithfulness, verifiability, timeliness, understandability, dan comparability.

Gambar 3.1. Karakteristik informasi matematika keuangan

Dalam konteks keuangan, konsep-konsep tersebut bertujuan untuk memastikan informasi keuangan bermanfaat bagi pengguna. Berikut penjelasan untuk masing-masing istilah: 

Relevance (Relevansi)
Relevansi berarti informasi keuangan yang disajikan dapat memengaruhi keputusan ekonomi pengguna. Informasi ini harus relevan, berguna, dan berkaitan dengan kebutuhan pengambilan keputusan. Misalnya, informasi yang dapat membantu pengguna dalam meramalkan hasil masa depan atau menilai hasil kinerja perusahaan di masa lalu.

Representational faithfulness (Penyajian yang jujur)
Penyajian yang jujur (atau faithful representation) berarti informasi keuangan harus menggambarkan dengan benar transaksi atau peristiwa yang terjadi, tanpa bias atau distorsi. Informasi harus lengkap, netral, dan bebas dari kesalahan.

Verifiability (Verifiabilitas)
Verifiabilitas mengacu pada kemampuan pihak lain yang independen untuk memverifikasi atau mengkonfirmasi kebenaran informasi keuangan. Jika informasi dapat diuji atau diverifikasi oleh pihak eksternal dan hasilnya sama atau serupa, maka informasi tersebut dapat dipercaya.

Timeliness (Ketepatan waktu)
Ketepatan waktu berarti informasi keuangan harus disediakan pada waktu yang tepat agar dapat digunakan secara efektif dalam pengambilan keputusan. Informasi yang terlalu lama atau terlambat mungkin kehilangan relevansinya.

Understandability (Kemudahan dipahami)
Kemudahan dipahami berarti informasi keuangan harus disajikan dengan cara yang jelas dan mudah dipahami oleh pengguna yang memiliki pengetahuan dasar tentang bisnis dan akuntansi. Informasi yang rumit harus dijelaskan sedemikian rupa agar tidak membingungkan pengguna.

Comparability (Komparabilitas)
Komparabilitas berarti informasi keuangan harus memungkinkan pengguna untuk membandingkan kinerja perusahaan dari waktu ke waktu atau dengan entitas lain. Ini memungkinkan pengguna untuk menilai kinerja relatif suatu entitas. Contoh desain gambar yang memenuhi ke enam karakteristik tersebut adalah sebagai berikut:

Gambar 3.2. Harga saham Bank BNI per 13 September 2024

Selain karakteristik tersebut, dalam pengambilan keputusannya, menurut Mincemoyer & Perkins (2003) ada lima indikator utama dalam pengambilan keputusan yang digunakan untuk mengevaluasi kemampuan seseorang dalam membuat keputusan. Kelima indikator tersebut adalah:

Mengidentifikasi masalah
Ini melibatkan kemampuan untuk mengenali situasi atau kondisi yang membutuhkan keputusan, dengan cara mengumpulkan informasi yang relevan.

Mengidentifikasi tujuan
Menetapkan tujuan yang jelas dalam proses pengambilan keputusan merupakan langkah penting. Tujuan ini memberikan arah yang jelas terhadap keputusan yang diambil.

Mengidentifikasi alternatif solusi
Melibatkan eksplorasi berbagai alternatif solusi atau tindakan yang mungkin diambil untuk menyelesaikan masalah yang dihadapi.

Mengevaluasi konsekuensi dari setiap alternatif
Mampu menganalisis konsekuensi, baik positif maupun negatif, dari setiap alternatif yang dipilih merupakan indikator kunci dalam pengambilan keputusan yang efektif.

Memilih dan melaksanakan solusi
Setelah mengevaluasi alternatif-alternatif yang ada, kemampuan untuk memilih solusi terbaik dan melaksanakan keputusan yang telah diambil merupakan indikator akhir dalam proses ini.